Métodos Iterativos para la solución de Sistemas de ecuaciones lineales de la forma: AX=B

El esfuerzo computacional de resolver un sistema lineal por eliminación es en general proporcional al cubo de su orden, mientras que los requerimientos de almacenaje son proporcionales al cuadrado del orden, debido a esto, la solución de sistemas lineales grandes, digamos de orden 500 o mas, con una matriz coeficiente densa, se considera extremadamente difícil sino imposible. No obstante, se han resuelto sistemas hasta de orden 1000 y aun 10 000 con éxito, aunque no por eliminación sino por iteración. Estos sistemas aparecen, por ejemplo, en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales, y tienen una matriz coeficiente que es mas bien esparcida, de modo que los requisitos de almacenaje son proporcionales solo al orden del sistema en lugar de serlo a su cuadrado. Ademas la matriz coeficiente de tales sistemas tienen ciertas propiedades reconocibles que implican que los métodos iterativos se puedan usar con éxito para su solución. Los métodos iterativos mas simples y mejor conocidos para la solución de sistemas lineales son generalización de iteración de punto fijo, los cuales son el método de Jacobi, de Gauss Seidel y el método de sobre relajación sucesiva (SOR).

Método de Jacobi 

También conocido como el método de desplazamientos simultáneos.

(para i=1,2,...,N)

Método de Gauss Seidel

También conocido como el método de desplazamientos sucesivos.

(para i=1,2,...,N)

También se utiliza, su forma equivalente:

(para i=1,2,...,N)

Método de Sobre-Relajación Sucesiva (SOR)

La abreviatura SOR proviene del ingles, Succesive Over-Relaxation.

Primera forma:

(para i=1,2,...,N)

Segunda forma:

(para i=1,2,...,N)

Parámetro de Relajación:

Aplicación:

• Resolver el siguiente sistema lineal, empleando el método de Jacobi y de Gauss Seidel, realizar tres iteraciones.  

Usar: 

Resultados:

• Resolver el siguiente sistema lineal, empleando el método de Sobre-relajación sucesiva (SOR), realizar 5 iteraciones.

usar:

Resultados:

• Resolver el siguiente sistema lineal, empleando el método de Sobre-relajación sucesiva (SOR), realizar 20 iteraciones.                                                                                  

usar:

Resultados:

Mediante la ClassPad Manager, obtenemos los valores analíticos:

Se observa que la segunda forma se aproxima con éxito a los resultados analíticos: